4.1 Understanding the Vocabulary Used in Probability

核心知识点

1. 实验与结果

实验 (Experiment)：任何产生一组可能结果的过程或活动。

实验可以是物理的（如掷骰子）或非物理的（如从一组数据中随机选择）
实验必须有明确定义的可能结果集

结果 (Outcome)：实验的单个可能结果。

样本空间 (Sample Space)：实验的所有可能结果的集合，通常用符号 \(S\) 表示。

2. 事件与概率

事件 (Event)：样本空间的子集，即一组特定的结果。

事件通常用大写字母表示，如 \(A\)、\(B\) 等
事件可以包含一个或多个结果

概率 (Probability)：事件发生的可能性度量，用 \(P(A)\) 表示事件 \(A\) 的概率。

概率范围：对于任何事件 \(A\)，\(0 \leq P(A) \leq 1\)

\(P(A) = 0\) 表示事件 \(A\) 不可能发生
\(P(A) = 1\) 表示事件 \(A\) 必然发生

3. 概率的计算

古典概率：当所有结果等可能时，事件 \(A\) 的概率为：

\(P(A) = \frac{事件A中的结果数}{样本空间中的结果总数} = \frac{n(A)}{n(S)}\)

频率概率：基于大量重复实验中事件发生的相对频率：

\(P(A) \approx \frac{事件A发生的次数}{实验总次数}\)

关键词汇表

实验 Experiment

结果 Outcome

样本空间 Sample Space

事件 Event

概率 Probability

古典概率 Classical Probability

频率概率 Frequency Probability

例题解析

Example 1: 掷骰子实验

题目：一个标准的六面骰子被掷出。求以下事件的概率：

a) 得到一个偶数

b) 得到一个大于4的数

解答

首先确定样本空间：

\(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)，样本空间中有6个结果。

a) 事件"得到一个偶数"：\(A = \{2, 4, 6\}\)，包含3个结果。
因此，\(P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5\)
b) 事件"得到一个大于4的数"：\(B = \{5, 6\}\)，包含2个结果。
因此，\(P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0.33\)

Example 2: 抽取扑克牌

题目：从一副标准的52张扑克牌中随机抽取一张牌。求抽到红桃的概率。

解答

标准扑克牌有52张，分为四种花色，每种花色13张。

样本空间：\(S\) = 所有52张牌，\(n(S) = 52\)
事件"抽到红桃"：\(A\) = 所有红桃牌，\(n(A) = 13\)
因此，\(P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{13}{52} = \frac{1}{4} = 0.25\)

Question 1

一枚公平的硬币被抛掷两次。

a) 列出所有可能的结果（样本空间）。

b) 求至少出现一次正面的概率。

答题区域：

Question 2

一个袋子中装有5个红球和3个蓝球。随机抽取一个球。

a) 求抽到红球的概率。

b) 求抽到蓝球的概率。

答题区域：

答案与解析

Question 1 解析

a) 样本空间：\(S = \{(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)\}\)，其中H表示正面，T表示反面。

b) 事件"至少出现一次正面"：\(A = \{(H,H), (H,T), (T,H)\}\)

因此，\(P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{3}{4} = 0.75\)

答案：a) \(S = \{(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)\}\)；b) \(P(A) = \frac{3}{4} = 0.75\)

Question 2 解析

袋子中共有8个球，其中5个红球，3个蓝球。

a) 事件"抽到红球"：\(P(红) = \frac{5}{8} = 0.625\)

b) 事件"抽到蓝球"：\(P(蓝) = \frac{3}{8} = 0.375\)

答案：a) \(P(红) = \frac{5}{8} = 0.625\)；b) \(P(蓝) = \frac{3}{8} = 0.375\)